Question

某公司一年生产某种产品m件，并且分若干批生产（每批生产产品件数相同），已知每生产一批产品需用原料费15000万元，每批生产需直接消耗的管理等费用S与该批生产产品的件数x的立方成正比，当生产的一批产品为5件时，S=1000万元．
（Ⅰ）求S关于x的函数表达式
（Ⅱ）每批生产产品多少件时，一年生产的总费用最低（精确到1件，≈）

Answer

（Ⅰ）由条件：每批生产需直接消耗的管理等费用S与该批生产产品的件数x的立方成正比，当生产的一批产品为5件时，S=1000万元，则可求．
（Ⅱ）首先构建函数，再利用基本不等式可求．
【解析】
（Ⅰ）设批生产需直接消耗管理费为S万元，每批生产x件产品，则S=kx3，当x=5时，S=1000，∴解析式为S=8x3
（Ⅱ）设一年生产的总费用为y元，每批生产x件，m件产品分批生产，则=，
当且仅当，即x≈10时，有最小值．故每批生产10件时，总费用最低．