Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为a，D为BC中点，M在BB₁上，且BM=B₁M，又CM⊥AC₁．
（1）求证：CM⊥C1D；
（2）求四面体B₁-ADC₁的体积．

Answer

（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，欲证MC⊥DC1．可通过MC⊥面ADC1，而得到，故通过先证AD⊥面BCC1B1，从而AD⊥MC利用线面垂直的判断定理可得到MC⊥面ADC1即可；
（2）在矩形BB1C1C中，由CM⊥DC1利用三角形相似△DCC1～△MBC，结合比例关系可求得h，从而所求AA1=，最后利用锥体的体积公式即可求出四面体B1-ADC1的体积．
【解析】
（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，
则AD⊥面BCC1B1，从而AD⊥MC             …（2分）
又∵CM⊥AC1，则MC和平面ADC1内两相交直线AD，AC1均垂直，∴MC⊥面ADC1，…（4分）
于是MC⊥DC1．…（6分）
（2）在矩形BB1C1C中，由CM⊥DC1知△DCC1～△MBC，
设BB1=h，则BM=h．∴h：a=：h，求得h=．
从而所求AA1=．…（8分）
连接．
．…（10分）
…（12分）