Question

一自来水厂拟建一座平面图形为矩形、面积为200平方米的净水处理池，该池的深度为1米，池的四周内壁建造单价为每平方米400元，池底建造单价为每平方米60元，在该水池长边的正中间设置一个隔层，将水池分成左右两个小水池，该隔层建造单价为每平方米100元，池壁厚度忽略不计．
（1）净水池的长度设计为多少米时，可使总造价最低？
（2）如长宽都不能超过14.5米，那么此净水池的长为多少时，可使总造价最低？

Answer

（1）净水池的底面积一定，长为x米，则宽可表示出来，从而得出总造价f（x），利用基本不等式求出最小值；
（2）由长和宽的限制条件，得自变量x的范围，判断总造价函数f（x）在x的取值范围内的函数值变化情况，求得最小值．
【解析】
（1）设水池的长为x米，则宽为米．…（1分）
总造价：=…（4分）=36000…（6分）
当且仅当时，等号成立，
故当净水池的长为15米时，总造价最低．…（7分）
（2）由已知，长不能超过14.5米，而15＞14.5，故长度值取不到15，从而不能利用基本不等式求最值，转而考虑利用函数的单调性．
考虑条件，…（8分）
设，利用函数单调性，
易知上为减函数，…（11分）
因此，当时，ymin=36013.8元，故当x=14.5米时，总造价最低．…（13分）