Question

已知函数上的最小值是a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明；
（3）在点列A_n（2n，a_n）中，是否存在两点A_i，A_j（i，j∈N^*）使直线A_iA_j的斜率为1？若存在，求出所有数对（i，j），若不存在，说明理由．

Answer

（1）由，知当且仅当时，f（x）取得最小值，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由，能够证明．
（3）设Ai（2i，ai），A（2j，aj），则==．故不存在存在两点Ai，Aj（i，j∈N*）使直线AiAj的斜率为1．
【解析】
（1）∵…（2分）
当且仅当
即时，
f（x）取得最小值，
∴．…（4分）
（2）证明∵，…（6分）
∴
=．…（9分）
（3）不存在．
设Ai（2i，ai），A（2j，aj），（其中i，j∈N*），
则…（10分）
=…（12分）
=．
故不存在存在两点Ai，Aj（i，j∈N*）使直线AiAj的斜率为1．…（14分）