Question

定义在区间[2，4]上的函数f（x）=3^x-m，（m为常数）的图象过点（2，1），设f（x）的反函数是f^-1（x），则函数F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）的值域为    ．

Answer

先根据函数过点（2，1）求出m的值，从而求出f（x），然后求出反函数f-1（x），求出F（x）的解析式和定义域，然后求出值域即可．
【解析】
根据函数f（x）=3x-m（m是实常数）的图象过点（2，1），
可知f（2）=32-m=1，解得m=2
∴f（x）=3x-2
f-1（x）=2+log3x  （x∈[1，9]）
f-1（x2）=2+2log3x  （x∈[1，3]）
F（x）=[f-1（x）]2-f-1（x2）=（2+log3x ）2-2-2log3x 
=（log3x ）2+2log3x+2  （log3x∈[0，1]
∴F（x）=[f-1（x）]2-f-1（x2）的值域为[2，5]
故答案为：[2，5]