Question

已知函数f（x）=-x³+3x．
（1）判断f（x）的奇偶性，证明你的结论；
（2）当a在何范围内取值时，关于x的方程f（x）=a在x∈（-1，1]上有解？

Answer

（1）根据已知中f（x）=-x3+3x．求出f（-x），并判断f（-x）与f（x）的关系，然后根据函数奇偶性的性质得到函数的奇偶性，
（2）用定义法，先在定义域上任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号．当自变量变化与函数值变化一致时，为增函数；当自变量变化与函数值变化相反时，为减函数，得出f（x）在（-1，1]上是增函数，从而函数f（x）=-x3+3x的值域是（-2，2]，即可得到答案．
【解析】
（1）证明：显然f（x）的定义域是R．设x∈R，
∵f（-x）=-（-x）3+3（-x）=-（-x3+3x）=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数．
（2）【解析】
设-1＜x1＜x2≤1，则f（x1）-f（x2）=（-x13+3x1）-（-x23+3x2）=（x1-x2）[3-（x12+x1x2+x22）]
∵x1＜x2，3-（x12+x1x2+x22）＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x）在（-1，1]上是增函数．
∴函数f（x）=-x3+3x的值域是（-2，2]．
∴当a在（-2，2]内取值时，关于x的方程f（x）=a在x∈（-1，1]上有解．