Question

已知函数f（x）=ax²-2x+lnx．
（1）若f（x）无极值点，但其导函数f'（x）有零点，求实数a的值；
（2）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围并证明＜．

Answer

（1）先求函数f（x）=ax2-2x+lnx的导函数f′（x），f′（x）有零点而无极值点，表明该零点左右导数同号，即2ax2-2x+1=0的△=0，解方程即可
（2）若f（x）有两个极值点，则f′（x）=0有两个正根，结合二次函数y=2ax2-2x+1的图象，列不等式即可得a的取值范围；∵=，令，则t∈（1，+∞），构造新函数 t∈（1，+∞），利用导数发现其为减函数，所以g（t）＜g（1）=，即＜-
解；（1）f′（x）=，f′（x）有零点而无极值点，表明该零点左右导数同号，∴a≠0，2ax2-2x+1=0的△=0，∴
（2）若f（x）有两个极值点，则f′（x）=0有两个正根，∴a≠0
∵，∴
∵=，令，则t∈（1，+∞），设     g′（t）=，t∈（1，+∞）时g′（t）＜0，
所以在（1，+∞）上单调递减，所以g（t）＜g（1）=，
所以＜．