Question

已知函数y=x+（x＞0）有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（2）研究函数y=x²+（x＞0，常数c＞0）在定义域内的单调性，并用定义证明（若有多个单调区间，请选择一个证明）；
（3）对函数y=x+和y=x²+（x＞0，常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=+在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

Answer

（1）根据题意可知：函数y=x+（x＞0）在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．从而当时，函数取到最小值6，故可解；
（2）根据题意可知：函数y=x2+（x＞0，常数c＞0）在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数，再用定义进行证明；
（3）根据题意，结合基本不等式可作推广．利用推广结论，可知函数在上是减函数，在[1，2]上是增函数，从而可解．
【解析】
（1）函数y=x+（x＞0）在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．当时，，
所以b=±3．（漏-3，扣1分）…（4分）
（2）函数y=x2+（x＞0，常数c＞0）在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．…（2分）
证明：函数y=x2+（x＞0，常数c＞0）在（0，]上是减函数
在（0，]内任取两个变量x1，x2，且x1＜x2，
则
∵x1，x2∈（0，]且x1＜x2，
∴y1＞y2
∴函数y=x2+（x＞0，常数c＞0）在（0，]上是减函数…（4分）
（3）作出推广：y=xn+（x＞0，n∈N*，常数a＞0）…（1分）
在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．…（2分）
或作出推广：y=+（x＞0，n∈N，常数a＞0）…（1分）
在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．…（2分）
F（x）=+
=
上是减函数，在[1，2]上是增函数．…（2分）
当x=1时，F（x）min=8；
当x=或2时，．…（3分）