Question

下列命题中，真命题是（ ）
A．∃x∈R，使得sinx+cosx=2
B．∀x∈（0，π），有sinx＞cos
C．∃x∈R，使得x²+x=-2
D．∀x∈（0，+∞），有e^x＞1+

Answer

利用辅助角公式，可将sinx+cosx化这正切型函数的形式，进而根据正弦函数的值域，判断A的真假；利用正弦函数和余弦函数的图象和性质，举出反例，可以判断B的真假；根据一元二次方程根的个数判定方法，可以判断C的真假；构造函数f（x）=ex-x-1，利用导数法，可以函数出函数的在区间（0，+∞）上的单调性，进而判断出D的真假，得到答案．
【解析】
∵sinx+cosx=sin（x+）∈[，]，2∉[，]，故A“∃x∈R，使得sinx+cosx=2”不正确；
当x=时，sinx＜cosx，故B“∀x∈（0，π），有sinx＞cosx”，不正确；
∵方程x2+x=-2无解，故C“∃x∈R，使得x2+x=-2”，不正确；
令f（x）=ex-x-1，则f′（x）=ex-1，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，即f（x）=ex-x-1在区间（0，+∞）上为增函数，
又∵f（0）=ex-x-1=0，∴D“∀x∈（0，+∞），有ex＞1+x”正确；
故选D