Question

已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于定义域内任意x₁，x₂都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求证：，且f（x）是偶函数；
（2）请写出一个满足上述条件的函数．

Answer

（1）根据抽象函数“凑”的原则，结合f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），分别令x1=x2=1，x1=-1，x2=1，
即可求得f（1）、f（-1）的值，进而求得结果；根据f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），令x1=-1，易判断出f（-x2）与f（x2）的关系，再根据函数奇偶性的定义，即可得到答案．
（2）根据（x1x2）=f（x1）+f（x2）和已经学过的知识可知对数函数满足条件，另由函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），举出一个函数即可．
【解析】
（1）证明：令x1=x2=1
∵f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
∴f（1）=2f（1）
∴f（1）=0，
∴，
∴
令x1=-1，x2=1
f（-1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1），
∴f（-1）=0；
令x1=-1
∵f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
∴f（x1•x2）=f（-x2）=f（-1）+f（x2）
又∵f（-1）=0
∴f（-x2）=f（x2）
故f（x）是偶函数；
（2）根据根据（x1x2）=f（x1）+f（x2）以及函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
可知f（x）=log2|x|．