Question

已知椭圆C的中心为原点，点F（1，0）是它的一个焦点，直线l过点F与椭圆C交于A，B两点，且当直线l垂直于x轴时，OA•OB=．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得在椭圆C的右准线上可以找到一点P，满足△ABP为正三角形．如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）由题意，由于告诉了椭圆为焦点在x轴的椭圆所以可以利用定义设出 方程，然后建立a，b的方程求解即可；
（2）问是否存在的问题在圆锥曲线中就先假设存在，分斜率存在于不存在加以讨论，并把直线方程与椭圆方程进行连联立，利用设而不求整体代换进行求解．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆C的方程为：+=1（a＞b＞0），则a2-b2=1．①
∵当l垂直于x轴时，A，B两点坐标分别是（1，）和（1，-），
∴•=（1，）•（1，-）=1-，则1-=，即a2=6b4．②
由①，②消去a，得6b4-b2-1=0．∴b2=或b2=-．
当b2=时，a2=．因此，椭圆C的方程为+2y2=1．
（Ⅱ）设存在满足条件的直线l．
（1）当直线l垂直于x轴时，由（Ⅰ）的解答可知|AB|==，焦点F到右准线的距离为d=-c=，
此时不满足d=|AB|．
因此，当直线l垂直于x轴时不满足条件．
（2）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x-1）．
由⇒（6k2+2）x2-12k2x+6k2-3=0，
设A，B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=．
|AB|=|x1-x2|===-．
又设AB的中点为M，则xM==．
当△ABP为正三角形时，直线MP的斜率为kMP=-．
∵xp=，∴|MP|=|xp-xM|=•（-）=•．

当△ABP为正三角形时，|MP|=|AB|，即•=•，
解得k2=1，k=±1．
因此，满足条件的直线l存在，且直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0．