Question

设f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ展开式中x的系数是19，（m、n∈N^*）
（1）求f（x）展开式中x²的系数的最小值．
（2）对f（x）展开式中x²的系数取得最小值时的m、n，求f（x）展开式中x⁷的系数．

Answer

（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的x的系数，列出方程得到m，n的关系；利用二项展开式的通项公式求出x2的系数，将m，n的关系代入得到关于m的二次函数，配方求出最小值
（2）由（1）得到的m，n代入f（x），利用二项展开式的通项公式求出f（x）展开式中x7的系数．
【解析】
（1）m+n=19，m=19-n
x2的系数为Cm2+Cn2=C19-n2+Cn2
=
=
n∈N*，当n=9或10，x2的系数最小值是81．…（10分）
（2）当n=9，m=10或n=10，m=9时，x7的系数C107+C97=156…（14分）