Question

已知以T=4为周期的函数f（x）=，其中m＞0．若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为    ．

Answer

根据对函数的解析式进行变形后发现当x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f（x）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y=与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m的范围．
【解析】
∵当x∈（-1，1]时，将函数化为方程x2+=1（y≥0），
∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，
同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，
由图易知直线 y=与第二个椭圆（x-4）2+=1（y≥0）相交，
而与第三个半椭圆（x-8）2+=1 （y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，
将 y=代入（x-4）2+=1 （y≥0）得，（9m2+1）x2-72m2x+135m2=0，令t=9m2（t＞0），
则（t+1）x2-8tx+15t=0，由△=（8t）2-4×15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m2＞15，且m＞0得 m，
同样由 y=与第三个椭圆（x-8）2+=1 （y≥0）由△＜0可计算得 m＜，
综上可知m∈（，）
故答案为：（，）