Question

设=（cosα，（λ-1）sinα），=（cosβ，sinβ）（λ＞0，0＜α＜β＜π）是平面上的两个向量，且与互相垂直．
（1）求λ的值；
（2）若=，tanβ=，求tanα的值．

Answer

（1）由⊥得，（）•（）=0，代入数据计算，可求得λ的值；
（2）由（1）知，λ=2，且=，可得cos（α-β），进而得sin（α-β），tan（α-β）的值，又知tanβ，
则tanα可表示为tan[（α-β）+β]，由此求出结果．
【解析】
（1）由题设，得
•=-=cos2α+（λ-1）2sin2α-cos2β-sin2β=1-sin2α+（λ-1）2sin2α-1=（λ-1）2sin2α-sin2α；
∵与垂直，∴（λ-1）2sin2α-sin2α=0，即 λ（λ-2）sin2α=0，且0＜α＜π，∴sin2α≠0，
又 λ＞0，故 λ-2=0，∴λ=2；
（2）当与垂直时，=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴•=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β），
∴cos（α-β）= （0＜α＜β＜π），即，∴sin（α-β）=，tan（α-β）=-，
∴tanα=tan[（α-β）+β]===．