Question

已知长方体AC₁中，棱AB=BC=1，棱BB₁=2，连接B₁C，过B点作B₁C的垂线交CC₁于E，交B₁C于F．
（1）求证：A₁C⊥平面EBD；
（2）求点A到平面A₁B₁C的距离；
（3）求平面A₁B₁C与直线DE所成角的正弦值．

Answer

（1）以A为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，然后求出与，然后根据向量的数量积判定垂直关系，A1C⊥BD，A1C⊥BE，又BD∩BE=B满足线面垂直的判定定理所需条件；
（2）连接AE1，A到平面A1B1C的距离，即三棱锥A-A1B1C的高，根据等体积法可知，求出高即可；
（3）连接DF，根据BE⊥平面A1B1C，可知DF是DE在平面A1B1C上的射影，从而∠EDF是DE与平面A1B1C所成的角，最后在Rt△FDE中，求出此角的正弦值即可．
【解析】
（1）证明：以A为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，那么A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、D（0，1，0）、A1（0，0，2）、B1（1，0，2）、C1（1，1，2）、D1（0，1，2），，，…（2分）
设E（1，1，z），则：，，
∵BE⊥B1C∴，，∴，，
∵，，∴A1C⊥BD，A1C⊥BE，…（4分）
又BD∩BE=B∴A1C⊥平面EBD．…（5分）
（2）连接AE1，A到平面A1B1C的距离，即三棱锥A-A1B1C的高，设为h，…（6分）
，，由得：，，…（8分）
∴点A到平面A1B1C的距离是．…（9分）
（3）连接DF，∵A1C⊥BE，B1C⊥BE，A1C∩B1C=C，∴BE⊥平面A1B1C，∴DF是DE在平面A1B1C上的射影，∠EDF是DE与平面A1B1C所成的角，…（11分）
设F（1，y，z），那么，∵∴y-2z=0①∵，∴z=2-2y②由①、②得，，…（12分）
在Rt△FDE中，．∴，因此，DE与平面A1B1C所成的角的正弦值是．…（14分）