Question

已知f（x）=x²+x．，数列{a_n}的首项a₁＞0，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）比较a_n+1与a_n的大小
（2）判断并证明数列{a_n}是否能构成等比数列？
（3）若，求证：1＜＜＜…＜＜2（n≥2，n∈N^*）．

Answer

（1）由an+1=an2+an⇒an+1-an=an2≥0，a2=a12+a1＞0，依次递推，得a3＞0，a4＞0，…，an＞0．由此能够比较an+1与an的大小．
（2）若{an}为等比数列，设公比为q，则为常数，由此能够证明{an}不能为等比数列．
（3）由，知，所以．由此能够证明1＜＜＜…＜＜2（n≥2，n∈N*）．
【解析】
（1）由an+1=an2+an⇒an+1-an=an2≥0，
a2=a12+a1＞0，
依次递推
得，a3＞0，a4＞0，…，an＞0．
所以∀n∈N*，an+1＞an．
（2）若{an}为等比数列，设公比为q，
则为常数，
所以q=1，即an=0．
所以{an}不能为等比数列．
（3）因为，
所以，
因为，
所以an+1≥a3＞1（n≥2），
，
即1＜＜＜…＜＜2（n≥2，n∈N*）．