Question

已知满足：．
（I）求证：数列{a_2k-1}是等差数；数列{a_2k}是等比数列；（其中k∈N^*）；
（II）记a_n=f（n），对任意的正整数n≥2，不等式（cosnπ）[f（n²）-λf（2n）]≤0，求λ的取值范围．

Answer

（I）由=，知a2k+1-a2k-1=1．由此能够证明数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列．
（II）由a2k-1=k，a2k=2k，知数列{an}的通项公式为an=，由此能够求出．
【解析】
（I）=
=，…（2分）
当n=2k-1（k∈N*）时，
π
=a2k-1+1，即a2k+1-a2k-1=1．
所以数列{a2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，…（4分）．
所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，…（6分）
（II）由（I）可知：a2k-1=k，a2k=2k．
故数列{an}的通项公式为an=…（7分）
当n为奇数时，（cosnπ）[f（n2）-λf（2n）]≥0⇔λ≥
令g（n）=＜0⇒g（n+1）＜g（n）
所以g（n）为单调递减函数，∴g（n）max=g（3）=…（10分）
当n为偶数时，（cosnπ）[f（n2）-λf（2n）]≥0⇔λ≤
，显然h（n）为单调递增函数，
h（n）min=h（2）=1⇒λ≤1
综上，…（12分）