Question

已知函数是定义在（-1，1）上的奇函数，其中a、b∈R且
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并用单调性定义证明你的结论；
（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t²）＜0．

Answer

（1）利用函数 为奇函数，且 f（）=，可得 f（-）=-f（）=-，从而得到关于a、b的方程组，解之即可；
（2）直接利用单调性的定义即可证明；
（3）利用f（x）为奇函数，将不等式f（t-1）+f（t）＜0转化为f（t）＜-f（t-1）=f（1-t），再利用函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数得到关于t的不等式 组，解之即可．
【解析】
：（1）∵为奇函数，且 f（）==，
∴f（-）==-f（）=-，解得：a=1，b=0．
∴f（x）=．
（2）证明：在区间（-1，1）上任取x1，x2，令-1＜x1＜x2＜1，
∴f（x1）-f（x2）==；
∵-1＜x1＜x2＜1
∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
故函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．
（3）∵f（t-1）+f（t2）＜0
∴f（t2）＜-f（t-1）=f（1-t）
∵函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数
∴
∴0＜t＜
故关于t的不等式的解集为 （0，）．