Question

已知数列{a_n}中，a_n＞0且a_n²-2a_nS_n+1=0，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）求证：{S_n²}是等差数列；
（2）求证：a_n＞a_n+1（n∈N^*）．

Answer

（1）通过已知的等式，利用an=Sn-Sn-1（n≥2），直接化简即可得到Sn2-Sn-12=常数，即可证明{Sn2}是等差数列；
（2）求出a1，利用（1）得到Sn，利用an=Sn-Sn-1（n≥2）得到表达式，然后通过放缩法证明an＞an+1（n∈N*）．
证明：（1）∵an2-2anSn+1=0，an=Sn-Sn-1（n≥2）
∴（Sn-Sn-1）2-2（Sn-Sn-1）Sn+1=0⇒Sn2-Sn-12=1
故{Sn2}成等差数列．
（2）∵a12-2a12+1=0，a1＞0
∴a1=S1=1
∴Sn2=1+（n-1）=n
故
∴=（n∈N*）