Question

奇函数，且当x＞0时，f（x）有最小值，又f（1）=3．
（1）求f（x）的表达式；
（2）设g（x）=xf（x），正数数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1²=g（a_n），求数列{a_n}的通项公式；
（3）设，数列{b_n}中b₁=m（m＞0），b_n+1=h（b_n）（n∈N^*）．是否存在常数m使b_n•b_n+1＞0对任意n∈N^*恒成立．若存在，求m的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据f（1）=3，以及f（x）为奇函数可求出b的值，然后根据当x＞0时，f（x）有最小值，可求出c的值，从而求出函数的解析式；
（2）根据an+12=g（an）可证得{an2+1}为等比数列，其首项为a12+1=2，公比为2，从而求出数列{an}的通项公式；
（3）假设存在正实数m，对任意n∈N*，使bn•bn+1＞0恒成立，然后根据放缩法可得，取n＞1+b12，即n＞m2+1时，有bn＜0与bn＞0矛盾，从而得到结论．
解（1）；
∵是奇函数；
∴即
又可知和不能同时为0
故b=0
a+b+1=3c+3d，
∴
∴
当x＞0时，f（x）有最大值
∴得
∴
（2）∵g（x）=2x2+1
∴an+12=2an2+1⇒an+12+1=2（an2+1）
∴{an2+1}为等比数列，其首项为a12+1=2，公比为2
∴an2+1=（a12+1）•2n-1=2n∴
（3）由题
∴
假设存在正实数m，对任意n∈N*，使bn•bn+1＞0恒成立．
∵b1=m＞0
∴bn＞0恒成立．
∴
∴
又
∴
取n＞1+b12，即n＞m2+1时，有bn＜0与bn＞0矛盾．
因此，不存在正实数m，使bn•bn+1＞0对n∈N*恒成立．