Question

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），f（a_n）和g（a_n）满足：a₁=2，且（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0．
（1）是否存在常数C，使得数列{a_n+C}为等比数列？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由．
（2）设b_n=3f（a_n）-[g（a_n+1）]²，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）先根据 已知条件（an+1-an）g（an）+f（an）=0整理得到（an-1）（4an+1-3an-1）=0；再结合a1=2，得到4an+1=3an+1；最后通过假设存在常数C，使{an+C}为等比数列，得到相邻两项的比值为常数求出常数c=-1；
（2）先根据第一问的 结果求出数列{an}的通项，再代入求出数列{bn}的通项公式，最后根据等比数列的求和公式 即可得到结论．
【解析】
（1）由题意知：4（an+1-an）（an-1）+（an-1）2=0
∴（an-1）（4an+1-3an-1）=0   …（2分）
∵a1=2，∴an-1≠0，即4an+1=3an+1 …（4分）
假设存在常数C，使{an+C}为等比数列，
则：为常数
∴c=-1，故存在常数c=-1，使{an-1}为等比数列…（6分）
（2）∵a1=2，∴，
∴…（8分）
从而…（10分）
∴…（12分）