Question

如图，正三棱柱ABC一A₁B₁C₁的棱长均为2a，E为CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：AB₁⊥BE；
（Ⅱ）求三棱锥B一AB₁E的体积．

Answer

（I）取BC中点M，连AM，B1M，则AM⊥BC，由BB1⊥平面ABC，知BB1⊥AM，BC∩BB1=B，由此能够证明AB1⊥BE．
（II）==，由此能求出三棱锥B一AB1E的体积．
证明：（I）取BC中点M，连AM，B1M，则AM⊥BC，
∵BB1⊥平面ABC，
∴BB1⊥AM，BC∩BB1=B
∴AM⊥平面BB1C1C
由条件△BCE≌△B1BM，
∴∠BB1M=∠CBE，而∠CBE+∠EBB1=90°
∴∠BB1M+∠EBB1=90°，则B1M⊥BE
∵B1M为B1A在平面BB1C1C上的射影，
∴AB1⊥BE．
（II）==
=
=．