Question

已知函数f（x）=log_a（a-ka^x）（a＞0，且a≠1，k∈R）．
（1）若f（x）的图象关于直线y=x对称，且f（2）=-2log_a2，求a的值．
（2）当0＜a＜1时，若f（x）在[1，+∞）内恒有意义，求k的取值范围．

Answer

（1）由y=loga（a-kax），知ay=a-kax，x=，所以f（x）的反函数为：．由f（x）的图象关于直线y=x对称，知恒成立由此能求出a．
（2）由a-kax＞0得k＜a1-x，设g（x）=a1-x，由于0＜a＜1，知函数g（x）=a1-x在[1，+∞）上是单调递增函数．所以g（x）min=a=1，由此能求出k的范围．
【解析】
（1）∵y=loga（a-kax），∴ay=a-kax，∴x=，
∴f（x）的反函数为：            （4分）
∵f（x）的图象关于直线y=x对称，所以原函数与反函数是同一函数．
∴恒成立，（6分）
即：恒成立，（k2-1）ax+（1-k）a=0恒成立
∴，得：k=1，∴f（x）=loga（a-ax），（8分）
又∵f（2）=-2loga2，∴，∴，
∴，∴a=，（10分）
（2）由a-kax＞0得k＜a1-x，设g（x）=a1-x，
由于0＜a＜1，∴函数g（x）=a1-x在[1，+∞）上是单调递增函数．
∴g（x）min=a=1，
由k＜a1-x在[1，+∞）上恒成立得k＜1．（15分）