Question

设x₁，x₂是函数f（x）=x³+x²-a²x（a＞0）的两个极值点，且|x₁|+|x₂|=1．
（1）证明：0＜a≤；
（2）证明：|b|≤；
（3）设g（x）=f′（x）-a（x-x₁），x₁＜x＜1，x₁＜0，求证：|g（x）|≤a．

Answer

（1）由x1，x2是f（x）=的两个极值点，知x1，x2是f′（x）=ax2+bx-a2的两个根，由此入手能够证明0＜a≤．
（2）由x12+x22+2|x1x2|=1，知b2=（1-4a）a2，令h（a）=（1-4a）a2=-4a3+a2，得到h′（x）=-2a（6a-1）．由此能够证明|b|≤．
（3）g（x）=f′（x）-a（x-x1）（x-x2）-a（x-x1）（x-x2-1），由x-x1＞0，x1x2=-a＜0，x1＜0，知x2＞0，x＜1，x-x2-1＜0，由此能够证明|g（x）|≤a．
【解析】
（1）证明：∵x1，x2是f（x）=的两个极值点，
∴x1，x2是f′（x）=ax2+bx-a2的两个根，
∴x1x2=-a，…（2分）
∴由条件|x1|+|x2|=1及基本不等式可得
2，
∴，
∴．…（5分）
（2）由条件可得x12+x22+2|x1x2|=1，
即（x1+x2）2-2x1x2+2|x1x2|=1，
∴，
∴b2=（1-4a）a2，
令h（a）=（1-4a）a2=-4a3+a2，
则h′（x）=-2a（6a-1）．
∵，
∴时，h′（a）＞0；
时，h′（a）＜0．
∴h（a）在a=处取得最大值，
而，
故h（a）在[0，]上的最大值为，
也就是在（0，]上的最大值为，此时a=，
∴，即|b|≤．                           …（10分）
（3）g（x）=f′（x）-a（x-x1）（x-x2）-a（x-x1）（x-x2-1）（12分）
由条件x-x1＞0，
∵x1x2=-a＜0，x1＜0，
∴x2＞0，x＜1，
∴x-x2-1＜0，
∴|g（x）|=a（x-x1）（1+x2-x）
≤
=，
∵|x1|+|x2|=x2-x1=1，
∴．