Question

给出下列四个命题：
①函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c=0；
②函数y=2^-x（x＞0）的反函数是y=-log₂x（0＜x＜1）；
③设，数列{a_n}满足a_n=f（n），n∈N*，则{a_n}是单调递减数列；
④若函数y=f（x-1）是偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称．其中所有正确命题的序号是    ．

Answer

①由x|x|是奇函数，bx是奇函数，c是偶函数，知函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c=0；②由y=2-x（x＞0），知0＜y＜1，x=-log2y，x，y互换，得函数y=2-x（x＞0）的反函数是y=-log2x（0＜x＜1）；③由，数列{an}满足an=f（n），n∈N*，知f（n）=，所以{an}是单调递减数列；④y=f（x-1）是偶函数，它的图象关于y轴（x=0）对称．变成y=f（x），需要向左平移1个单位． 故：y=f（x）关于x=-1对称．
【解析】
①∵x|x|是奇函数，bx是奇函数，c是偶函数，
∴函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c=0；
故①成立；
②由y=2-x（x＞0），知0＜y＜1，x=-log2y，
x，y互换，得函数y=2-x（x＞0）的反函数是y=-log2x（0＜x＜1）；
故②成立；
③由，数列{an}满足an=f（n），n∈N*，
知f（n）=，
∵n+1≥2，
∴f（n）单调减，
∴{an}是单调递减数列．
故③成立；
④y=f（x-1）是偶函数，它的图象关于y轴（x=0）对称．
变成y=f（x），需要向左平移1个单位．
故：y=f（x）关于x=-1对称．
故④不成立．
故答案为：①②③．