Question

数列{a_n}中，a₁=a，a_n+1+a_n=4n-56（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）是否存在a，使得数列{a_n}的前n项和为S_n与|a_n+1+a_n-a|同时取到最小值，若存在，求a的取值范围．若不存在，说明理由．
（3）若a=-27，数列{b_n}满足条件b₁=b₁₅，且，求b₁₀₀的整数部分．

Answer

（1）再写一式，两式相减可知∴{an}的奇数项与偶数项分别是公差为4的等差数列． 从而分段可写出数列{an}的通项公式．
（2）分段求前n项和为Sn，再求Sn与|an+1+an-a|同时取到最小值，从而可解；
（3）由已知b2n+1=b2n++2，即b2n+1-b2n=+2，由累差迭加得b2100-b21=（++…+）+198＞198，从而可确定b100的整数部分．
【解析】
（1）由于an+1+an=4n-56，（n∈N*），
∴an+2+an+1=4n-52，
∴an+2-an=4．
∴{an}的奇数项与偶数项分别是公差为4的等差数列．
又a1=a，
∴a2=-52-a，
∴------（4分）
（2）------（6分）
当n=14时，n2-28n取到最小值为-196，
当n=13或15时，n2-28n+a+27取到最小值为-168+a，----（8分）
∵，
当-2≤a≤2时，n=14取到最小值．
∴-168+a≥-196，
即a≥-28
∴-2≤a≤2
当-6≤a＜-2或2＜a≤6时，n=13或15取到最小值．
∴-168+a≤-196，即a≤-28
∴a不存在------（10分）
综上，存在这样的实数a，取值范围为-2≤a≤2--（12分）
（3）由已知b2n+1=b2n++2，即b2n+1-b2n=+2
由累差迭加得b2100-b21=（++…+）+198＞198
∴b100＞14                                                               （14分）
显然{bn}递增，b1=a15=1，b2=2，当n＞2时，bn＞2，
∴b2100-b21=+（+…+）+198＜1++198＜224
∴b100＜15                                                               （16分）
∴b100的整数部分为14                                                    （18分）