Question

第Ⅰ小题：已知函数f（x）=x+1，设g₁（x）=f（x），g_n（x）=f（g_n-1（x））（n＞1，n∈N^*）
（1）求g₂（x），g₃（x）的表达式，并猜想g_n（x）（n∈N^*）的表达式（直接写出猜想结果 ）  
（2）若关于x的函数在区间上的最小值为6，求n的值．
第Ⅱ小题：设关于x的不等式lg（|x+3|+|x-7|）＞a
（1）当a=1时，解这个不等式；（2）当a为何值时，这个不等式的解集为R．

Answer

第Ⅰ小题：（1）根据题意g1（x）=f（x）=x+1，gn（x）=f（gn-1（x）），令n=2求出g2（x）的表达式；由g2（x），gn（x）=f（gn-1（x）），令n=2求出g3（x）的表达式，观察求出的表达式g1（x），g2（x）及g3（x），发现其规律为n等于几，其解析式为x加几，根据猜想写出gn（x）的表达式即可；
（2）把（1）中猜想出的gn（x）的表达式代入到函数解析式中，根据等差数列的求和公式化简，得到y与x成二次函数关系，根据二次函数求最值的方法表示出y的最大值，让其等于6列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值；
第Ⅱ小题：（1）把a=1代入不等式，由对数的运算性质化简后，讨论x的取值化简绝对值不等式，即可求出不等式的解集；
根据|x+a|+|x+b|≥|（x+a）-（x+b）|求出|x+3|+|x-7|的最小值，进而根据底数为10的对数为增函数，求出lg（（|x+3|+|x-7|）的最小值，让a小于求出的最小值即可得到a的取值范围．
【解析】
第Ⅰ小题：（1）∵g1（x）=f（x）=x+1，
∴g2（x）=f（g1（x））=f（x+1）=（x+1）+1=x+2，
g3（x）=f（g2（x））=f（x+2）=（x+2）+1=x+3，
∴猜想gn（x）=x+n；
（2）∵gn（x）=x+n，
∴，
∴，
∵n＞1，n∈N*，∴，
又∵在区间上的最小值为6，
当时，，解得n=4；
第Ⅱ小题：（1）由题意得：|x+3|+|x-7|＞10，解得：x＜-3或x＞7；
（2）∵|x+3|+|x-7|的最小值为10，
∴lg（|x+3|+|x-7|）的最小值为1
要使不等式的解集为R，则须a＜1．