Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*），
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2），求证：数列{c_n}是等差数列；  
（3）求S_n=a₁+a₂+…+a_n的值．

Answer

（1）由已知中Sn+1=4an+2，我们易得Sn+2=4an+1+2，两式相减可得an+2=4an+1-4an．结合bn=an+1-2an，易求出数列{bn}相邻两项之比为定值，再结合a1=1，即可得到数列{bn}是首项，进而得到结论；
（2）由，我们可得cn+1-cn=，根据（1）的结论易得其值为一定值，即数列{cn}是等差数列；  
（3）由（2）中定义，我们易写出Sn=a1+a2+…+an的表达式，结合等比数列的前n项和公式化简后，即可得到答案．
【解析】
（1）由题意，Sn+1=4an+2，Sn+2=4an+1+2，两式相减，得Sn+2-Sn+1=4（an+1-an）
即an+2=4an+1-4an．
∴an+2-2an+1=2（an+1-2an）
∵bn=an+1-2an
∴bn+1=2bn（n∈N*），
q==2，
又由题设，得1+a2=4+2=6，即a2=5
b1=a2-2a1=3，
∴数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，其通项公式为bn=3•2n-1．
（2）由题设，可得cn+1-cn=====
数列{cn}是公差为的等差数列．
又 c1==
∴cn=
（3）∵cn=，∴an=，
an-1=∴Sn=a1+a2+…+an=4×=（3n-4）2n-1+2．