Question

设各项为正的数列{a_n}，其前n项和为S_n，并且对所有正整数n，a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项．
（1）写出数列{a_n}的前二项；     
（2）求数列{a_n}的通项公式（写出推证过程）；
（3）令b_n=a_n•（3ⁿ-1），求b_n的前n项和T_n．

Answer

（1）先根据an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项建立等式关系，然后对n分别取1和2，求出数列{an}的前二项；
（2）将平方得，然后利用已知Sn求an的方法进行求解；
（3）bn=an•（3n-1）=（4n-2）3n-（4n-2），（4n-2）3n是由等差数列4n-2与等比数列3n乘积构成，利用错位相减法求和，最后求出bn的前n项和Tn．
【解析】
（1）由题意可得
∴解得a1=2，
∴解得a2=6
（2）由得
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
即可得到（an+an-1）（an-an-1-4）=0
∵各项为正的数列{an}，
∴an-an-1=4
因此数列{an}是以2为首项，4为公差的等差数列，故an=4n-2
（3）由bn=an（3n-1-1），得bn=（4n-2）（3n-1）=（4n-2）3n-（4n-2）
记cn=（4n-2）3n，其n项和为Un，则由错位相减法得Un=3（1-3n）+（2n-1）3n+1+3=（2n-2）3n+1+6
∴．