Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-EFGH中，M为DH的中点．
（1）求证：FC∥平面ADHE；
（2）求FM的长；
（3）求证：平面BDHF⊥平面AMC．

Answer

（1）要证FC∥平面ADHE，可考虑利用线面平行的判定定理，故需要在平面ADHE内找一直线，使其与直线FC平行
，故考虑连接ED，由EF=CD，且EF∥CD，可得FC∥ED，故可证
（2）在直角三角形FMH中，利用勾股FM2=FH2+HM2，可求FM
（3）由HD⊥平面ABCD可得，AC⊥HD，又AC⊥BD可证AC⊥平面BDHF，从而可证
证明：（1）连接ED，因为 EF=CD，并且EF∥CD，所以FC∥ED
因为ED⊂平面ADHE，FC⊄平面ADHE，
所以FC∥平面ADHE
（2）因为HM=1，
在直角三角形FMH中，FM2=FH2+HM2，所以FM=3
（3）因为HD⊥平面ABCD，所以AC⊥HD，又因为AC⊥BD，BD∩DH=D，所以AC⊥平面BDHF
又AC⊂平面AMC，则平面BDHF⊥平面AMC