Question

已知椭圆G的中心在坐标原点，离心率为，焦点F₁、F₂在x轴上，椭圆G上一点N到F₁和F₂的距离之和为6．
（1）求椭圆G的方程；
（2）若∠F₁NF₂=90°，求△NF₁F₂的面积；
（3）若过点M（-2，1）的直线l与椭圆交于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程．

Answer

（1）设出椭圆的方程，利用椭圆的定义得到2a=6，再利用椭圆的离心率公式列出关于a，c的方程，求出c，利用椭圆中的三个参数的关系求出b，写出椭圆的方程．
（2）利用直角三角形的勾股定理及椭圆的定义得到关于|NF1|，|NF2|的方程，求出|NF1|•|NF2|的值，利用直角三角形的面积公式求出△NF1F2的面积．
（3）设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，消去y得到关于x的二次方程，利用韦达定理得到相交弦的中点横坐标，列出方程求出直线的斜率，得到直线的方程．
【解析】
（1）设椭圆G的方程为：（a＞b＞0）半焦距为c．
则，
解得，
∴b2=a2-c2=9-5=4
所以椭圆G的方程为．
（2）若∠F1NF2=90°，
则在Rt△NF1F2中，|NF1|2+|NF2|2=|F1F2|2=20．
又因为|NF1|+|NF2|=6
解得|NF1|•|NF2|=8，
所以=
（3）设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），M的坐标为（-2，1），
当k不存在时，A、B关于点M对称显然不可能．
从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1，
代入椭圆G的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k-27=0，
△=（36k2+18k）2-4（4+9k2）（36k2+36k-27）=16×9（5k2-4k+3）
=
因为A，B关于点M对称，
所以，解得，
所以直线l的方程为，
即8x-9y+25=0（经检验，符合题意）．