Question

函数的最小值为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．

Answer

利用半角的三角函数化简，f（θ）的解析式为3+cot+2 ，由θ的范围得0＜tan＜1，且f（θ）＞6．令 y=f（θ），则一元二次方程（y-1）x2+（4-y）x+1=0 在（0，1）内有解，哟判别式大于或等于0得y≥10，利用根与系数的关系检验可得两个根均在（0，1）内，故y的最小值为10．
【解析】
∵=3++2 =3+cot+2 ．
由于0＜θ＜，∴0＜tan＜1，∴f（θ）＞3+1+2＞6．
令 y=f（θ），由以上可得 y=3+cot+2 ，
∴（y-1）+（4-y）tan+1=0，则一元二次方程（y-1）x2+（4-y）x+1=0 在（0，1）内有解．
∴△=（4-y）2-4（y-1）≥0，（y-2）（y-10）≥0，y≥10．
故两根之和等于=1-∈[，1），两根之积等于∈（0，]，
所以是两个正数根，两个根均在（0，1）内，故有y≥10，即y的最小值为10．