Question

已知定义域为R的函数f（x）=|x²-1|，若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有7个不同的实数解x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆，x₇，则x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆+x₇=    ．

Answer

可令f（x）=t则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0就转化为关于t的方程t2+bt+c=0作出f（x）=|x2-1|的图象根据图象可得要使关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0恰有7个不同的实数解即使关于t的方程t2+bt+c=0有两个不同实根且f（x）=|x2-1|的图象与y=t的图象的交点的横坐标即为方程f2（x）+bf（x）+c=0的7个不同的实数解再结合f（x）=|x2-1|的图象可知t1=1，0＜t2＜1故根据对称性可得7个不同的实数解的和为0．
【解析】
令f（x）=t则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0就转化为关于t的方程t2+bt+c=0
故f（x）=|x2-1|的图象与y=t的图象的交点的横坐标即为方程f2（x）+bf（x）+c=0的7个不同的实数解
所以关于t的方程t2+bt+c=0有两个不同实
作出f（x）=|x2-1|的图象如下图则必有y=t在图示的两个位置才有关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0恰有7个不同的实数
解，即t1=1，0＜t2＜1

根据f（x）=|x2-1|的图象关于y轴对称故方程f2（x）+bf（x）+c=0的7个不同的实数解中有一个为0其余6个均关于原点对称故x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=0
故答案为0