Question

已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（2，1），它们在y轴上有一个公共焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（1）求这三条曲线的方程；
（2）已知动直线l过点P（0，3），交抛物线于A、B两点，是否存在垂直于y轴的直线m被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出m的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（1）先利用待定系数法求出抛物线方程，再根据三条圆锥曲线有公共焦点，求出椭圆与双曲线中的c的值，利用椭圆与双曲线的定义，即可得到曲线方程．
（2）先假设存在垂直于y轴的直线m被以AP为直径的圆截得的弦长为定值，则以AP为直径的圆的圆心为A，P的中点，半径为AP长的一半，再利用圆中半径，半弦，弦心距构成的直角三角形即可判断．
【解析】
（1）设抛物线方程为x2=2py（p＞0），将M（2，1）代入方程得p=2．
所以抛物线方程为x2=4y．
由题意知，椭圆、双曲线的焦点为F1（0，-1），F2（0，1）．
设椭圆的方程为，则由椭圆定义得，
于是，．
所以椭圆的方程为．
设双曲线的方程为，则由双曲线定义得，
于是，．
所以双曲线的方程为．
（2）设A（x1，y1），则AP的中点C ．
设l'的方程为y=a，C到l'的距离为h，以AP为直径的圆半径为r，l'被圆截得的弦长为d．
则，，
因为点A（x1，y1）在抛物线x2=4y上，所以x12=4y1．
由，
得d2=[x12+（y1-3）2]-[（y1+3）-2a]2=[4y1+（y1-3）2]-[（y1+3）-2a]2=4（a-2）y1-4a2+12a．
当a=2时，d2=8，．