Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n．若S₃+S₆=2S₉，求数列的公比q．

Answer

先假设q=1，分别利用首项表示出前3、6、及9项的和，得到已知的等式不成立，矛盾，所以得到q不等于1，然后利用等比数列的前n项和的公式化简S3+S6=2S9得到关于q的方程，根据q不等于0和1，求出方程的解，即可得到q的值．
【解析】
若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1．
但a1≠0，即得S3+S6≠2S9，与题设矛盾，q≠1．
又依题意S3+S6=2S9
可得
整理得q3（2q6-q3-1）=0．
由q≠0得方程2q6-q3-1=0．
（2q3+1）（q3-1）=0，
∵q≠1，q3-1≠0，
∴2q3+1=0
∴q=-．