Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AD=DC=3，DD₁=4，过点D作D₁C的垂线交CC₁于点E，交D₁C于点F．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥BE；
（Ⅱ）求二面角E-BD-C的大小；
（Ⅲ）求点BE到平面A₁D₁C所成角的正弦值．

Answer

（I）欲证A1C⊥BE，而BE⊂平面EBD，可先证A1C⊥平面BED，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A1C与平面BED内两相交直线垂直，连接AC交BD于点O，易证A1C⊥DE，A1C⊥DE，而BD∩DE=D，满足定理所需条件；
（Ⅱ）连接EO，根据二面角平面角的定义可知∠EOC是二面角E-BD-C的平面角，在直角三角形EOC中求出此角即可；
（Ⅲ）连接A1B，连接BF，根据线面所成角的定义可知∠EBF为BE与平面A1D1C所成的角，在直角三角形EFB中求出角的正弦值即可求出所求．
【解析】
（I）证明：连接AC交BD于点O，由已知ABCD是正方形，则AC⊥BD．
∵A1A⊥底面ABCD，由三垂直线定理有A1C⊥DE．
同理A1C⊥DE．
∵BD∩DE=D，
∴A1C⊥平面BED．∴BE⊂平面EBD，∴A1C⊥BE．（4分）

（Ⅱ）连接EO．由EC⊥平面BCD，且AC⊥BD，知EO⊥BD．
∴∠EOC是二面角E-BD-C的平面角．
已知AD=DC=3，DD1=4，
可求得D1C=5，DF=，∴CF=．
则EF=．（7分）
在Rt△ECO中，tanEOC=．
∴二面角E-BD-A的大小是arctan．（9分）
（Ⅲ）连接A1B，由A1D1∥BC知点B点在平面A1D1C内，
由（Ⅰ）知A1C⊥DE，又∵A1D1⊥DE，
且A1C∩A1D1=A1，∴DE⊥平面A1D1C，且F为垂足．
连接BF．∠EBF为BE与平面A1D1C所成的角．
∵EF=，（13分）
在Rt△FEB中，sinEBF=．
∴BE与平面A1D1C所成角的正弦值为．（14分）