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如图,直角梯形ABCD中∠DAB=90°,AD∥BC,AB=2,AD=manfen5.com 满分网,BC=manfen5.com 满分网.椭圆G以A、B为焦点且经过点D.
(Ⅰ)建立适当坐标系,求椭圆G的方程;
(Ⅱ)若点E满足manfen5.com 满分网=manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网,问是否存在不平行AB的直线l与椭圆G交于M、N两点且|ME|=|NE|,若存在,求出直线l与AB夹角正切值的范围,若不存在,说明理由.

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(1)先以AB所在直线为x轴,AB中垂线为y轴建立直角坐标系,进而可知A,B的坐标,设椭圆的标准方程,根据AB的距离求得c,把x=c代入椭圆方程,求得=,进而根据a,b和c的关系求得a和b,则椭圆的方程可得. (2)设出直线l的方程,代入椭圆方程消去y,根据判别式得出k和m的不等式关系,设M,N和MN中点的坐标,进而根据韦达定理得出x和y的表达式,进而根据|ME|=|NE|,可推断出MN⊥EF,进而表示出两直线的斜率使其乘积等于-1求得m和k的关系,进而根据m和k的不等式关系确定k的范围. 【解析】 (Ⅰ)如图,以AB所在直线为x轴, AB中垂线为y轴建立直角坐标系,⇒A(-1,0),B(1,0). 设椭圆方程为. 令, ∴. ∴椭圆C的方程是:; (Ⅱ),l⊥AB时不符; 设l:y=kx+m(k≠0), 由. M、N存在⇒△>0⇒64k2m2-4(3+4k2)•(4m2-12)>0⇒4k2+3≥m2. 设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点F(x,y) ∴, . , ∴,∴4k2+3≤4, ∴0<k2≤1,∴-1≤k≤1且k≠0. ∴l与AB的夹角的范围是(0,.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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