Question

已知函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）为偶函数，如果点A（x，y）在函数f（x）的图象上，且点B（x，y²+1）在g（x）=f（x²+c）的图象上．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设F（x）=g（x）-λf（x）．是否存在实数λ，使F（x）在上为减函数，且在上为增函数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer

利用偶函数的定义列出恒成立的等式，求出b的值；再点A（x，y）在函数f（x）的图象上，且点B（x，y2+1）在g（x）=f（x2+c）的图象上，求出b，c的值；
（2）由f（x）求g（x），再求F（x）解析式，求F（x1）-F（x2）的表达式，最后要变形为因式相乘的形式；根据单调性得出这个式子的正负，从而得出λ的范围，由两个范围取交集可得λ的值．
【解析】
（1）∵f（x）=x2+bx+c为偶函数，故f（-x）=f（x），即有（-x）2+b（-x）+c=x2+bx+c，解得b=0．
由因为点A（x，y）在函数f（x）的图象上，且点B（x，y2+1）在g（x）=f（x2+c）的图象上，所以c=1，所以f（x）=x2+1
（2）【解析】
g（x）=f（x2+1）=（x2+1）2+1=x4+2x2+2．
F（x）=g（x）-λf（x）=x4+（2-λ）x2+（2-λ），F（x1）-F（x2）=（x1+x2）（x1-x2）[x12+x22+（2-λ）]
由题设当x1＜x2＜时，（x1+x2）（x1-x2）＞0，x12+x22+（2-λ）＞++2-λ=3-λ，
则3-λ≥0，λ≤3；
当＜x1＜x2＜0时，（x1+x2）（x1-x2）＞0，x12+x22+（2-λ）＞++2-λ=3-λ，
则3-λ≥0，λ≥3故λ=3．