Question

设平面向量=（cosx，sinx），，，x∈R，
（Ⅰ）若，求cos（2x+2α）的值；
（Ⅱ）若，证明和不可能平行；
（Ⅲ）若α=0，求函数的最大值，并求出相应的x值．

Answer

（Ⅰ）利用两个向量垂直，它们的数量积等于0，以及二倍角的余弦公式求得cos（2x+2α）的值．
（Ⅱ）假设与平行，则 ，即 sinx=0，与已知矛盾．
（Ⅲ）若α=0，则，函数═1-2sinx+2，
利用正弦函数的有界性求出函数的最值．
【解析】
（Ⅰ）若，则 ，cosxsinα+sinxcosα=0，sin（x+α）=0
所以，cos（2x+2α）=1-2sin2（x+α）=1．
（Ⅱ）假设与平行，则 ，即 sinx=0，
而时，sinx＞0，矛盾，故 和不可能平行．
（Ⅲ）若，
则
=cosx=1-2sinx+2，
所以，．