Question

已知f（x）=2x+a，g（x）=（x²+3），
（1）若g[f（x）]=x²+x+1，求实数a的值；
（2）若关于x的方程f[g（x）]+f（x）=0的两个根m，n满足m＜1＜n，求实数a的取值范围．

Answer

（1）根据函数g（x）的解析式化简：g[f（x）]，再利用条件：g[f（x）]=x2+x+1，比较两边对应项的系数，建立关于a的方程，即可求出a 值．
（2）先化简f[g（x）]+f（x），得出关于x的方程f[g（x）]+f（x）=0的两个根m，n满足m＜1＜n．也就是关于x的方程x2+4x+4a+3=0的两个根m，n满足m＜1＜n，设h（x）=x2+4x+4a+3，由二次函数的图象与性质即可求出实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵g[f（x）]=g（2x+a）=[（2x+a）2+3]=
g[f（x）]=x2+x+1，x∈R
∴=x2+x+1，x∈R．（4分）
比较两边对应项的系数，有
∴a=1．（6分）
（2）因为f[g（x）]+f（x）=2•g（x）+a+2x+a=（x2+4x+4a+3）．（8分）
所以关于x的方程f[g（x）]+f（x）=0的两个根m，n满足m＜1＜n．
也就是关于x的方程x2+4x+4a+3=0的两个根m，n满足m＜1＜n．（9分）
设h（x）=x2+4x+4a+3，由二次函数的图象与性质可知h（1）＜0
即4a+8＜0．（11分）
∴a＜-2．（12分）