Question

已知函数f（x）=x³+ax²-9x-1（a＜0），其导函数满足：f^′（x）≥f^′（b）=-12．
求：（Ⅰ）a、b的值；
（Ⅱ）函数f（x）的单调递减区间．

Answer

（I）由于f（x）=x3+ax2-9x-1，求导数f′（x）=3x2+2ax-9，利用二次函数的性质研究其最小值，得出当x=-时，f′（x）取得最小值-9-，从而列式求得a，b的值；
（II）求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数大于0求出x的范围，写出区间形式即得到函数的单调递减区间．
【解析】
（Ⅰ）因为f（x）=x3+ax2-9x-1，
所以f′（x）=3x2+2ax-9，
即当x=-时，f′（x）取得最小值-9-，
由题意得-9-=-12，
⇒a=-3，b=-=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）a=-3，∴f（x）=x3-3x2-9x-1，
f′（x）=3x2-6x-9，
由于x∈（-1，3）时
f′（x）＜0，
所以（-1，3）是f（x）的单调递减区间．