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已知:集合M={f(x)|∃x∈D,使f(x+1)=f(x)+f(1).其中集合...

已知:集合M={f(x)|∃x∈D,使f(x+1)=f(x)+f(1).其中集合D是f(x)的定义域}.
问:(1)函数manfen5.com 满分网是否属于集合M?说明理由.
(2)函数f2=2x+x2是否属于集合M?说明理由.
(3)若函数manfen5.com 满分网,试给出一个满足要求的实数a的值.
(1)f1(x)∉M,不妨令f1(x)∈M,则存在x,使,解此方程,若方程有解,则说明假设成立f1(x)∈M,否则说明不成立; (2)f2(x)∈M.不妨令g(x)=f2(x+1)-f2(x)-f2(1),代入解析式进行判断,若此函数有零点,则说明函数f2=2x+x2属于集合M,否则说明它不属于集合M; (3)函数,则存在x,使得=,由于本题要求出一个满足要求的实数a的值,可从此方程中将a表示为x的函数,得到a=,利用导数解出此函数的最值,即可得出函数的值域,即a可以存在的范围,从中任意找出一个值即可. 【解析】 (1)由题意,f1(x)∉M. 假若f1(x)∈M,则存在x,使, 得x2+x+1=0.此方程无解, 故f1(x)∉M. (2)由题意f2(x)∈M. 令g(x)=f2(x+1)-f2(x)-f2(1)=2x+1+(x+1)2-2x-x2-2-1=2(2x-1+x-1), 由于g(0)=-1,g(1)=2, 故函数f2(x)在(0,1)上至少有一个零点, 设为x,它满足f2(x+1)=f2(x)+f2(1), 所以f2(x)∈M. (3)由于, 得存在x,使得=,即=, 所以a=, 令g(x)=, g′(x)==0,得x=, 结合如图的图象,函数g(x)在(-∞,)上单调增,在()上单调减,在()上单调增,且x<-1时g(x)>2,x>2时g(x)<2, 所以g(x)的值域为[3-,3+], 于是a∈[3-,3+]. 可取a=3
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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