Question

如图，已知抛物线C：x²=2py（p＞0）与圆O：x²+y²=8相交于A、B两点，且（O为坐标原点），直线l与圆O相切，切点在劣弧AB（含A、B两点）上，且与抛物线C相交于M、N两点，d是M、N两点到抛物线C的焦点的距离之和．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求d的最大值，并求d取得最大值时直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）设A（x1，y1）（x1＜0），由抛物线C和圆O关于y轴对称，知点B的坐标为（-x1，y1）．由，知-x12+y12=0．由点A在抛物线C上，知x12=2py1．由此能求出p．
（Ⅱ） 解法1：设直线l的方程为：y=kx+b，由l是圆O的切线，知，得到l的方程为：．联立，能求出直线l的方程．
解法2：设直线l与圆O相切的切点坐标为（x，y），则切线l的方程为xx+yy=8．由，得y2y2-（16y+2x2）y+64=0．设M（xM，yM），N（xN，yN），则．由此能求出直线l的方程．
【解析】
（Ⅰ）设点A的坐标为（x1，y1）（x1＜0），
由于抛物线C和圆O关于y轴对称，故点B的坐标为（-x1，y1）．
∵，
∴x1•（-x1）+y12=0，
即-x12+y12=0．
∵点A在抛物线C上，
∴x12=2py1．
∴-2py1+y12=0，即y1（-2p+y1）=0．
∵y1≠0，
∴y1=2p．
∴x1=-2p．
∴点A的坐标为（-2p，2p）．
∵点A在圆O上，
∴（-2p）2+（2p）2=8，又p＞0，解得p=1．
（Ⅱ） 解法1：设直线l的方程为：y=kx+b，因为l是圆O的切线，则有，
又b＞0，则．
即l的方程为：．
联立
即．
设M（xM，yM），N（xN，yN），则．
如图，设抛物线C的焦点为F，准线为L，作MM1⊥L，NN1⊥L，垂足分别为M1，N1．
由抛物线的定义有：d=|MF|+|NF|=|MM1|+|NN1|=yM+yN+1=．
令，则2k2=t2-2．
∴d=t2+4t-1=（t+2）2-5．
又∵-1≤k≤1，
∴．
∴当t=2时，d有最大值11．
当t=2时，k=±1，故直线l的方程为y=±x+4．
解法2：设直线l与圆O相切的切点坐标为（x，y），则切线l的方程为xx+yy=8．
由消去x，得y2y2-（16y+2x2）y+64=0．
设M（xM，yM），N（xN，yN），则．
如图，设抛物线C的焦点为F，准线为L，作MM1⊥L，NN1⊥L，垂足分别为M1，N1．
由抛物线的定义有：d=|MF|+|NF|=|MM1|+|NN1|=yM+yN+1=．
∵x2=8-y2，==．
∵，
∴当y=2时，d有最大值11．
当y=2时，x=±2，故直线l的方程为y=±x+4．