Question

如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，|BC|=2|AC|．
（I）建立适当的坐标系，求椭圆方程；
（II）如果椭圆上有两点P、Q，使∠PCQ的平分线垂直于AO，证明：存在实数λ，使．

Answer

（Ⅰ）设椭圆的标准方程，根据长轴求得a，点A是长轴的一个顶点可求得A的坐标．根据 判断△AOC是等腰直角三角形，进而求得C的坐标代入椭圆的方程求得b，最后可得椭圆的方程．
（Ⅱ）设直线PC的方程与椭圆方程联立，消元后根据△＞0判断k的范围．设点P（x1，y1）由韦达定理可求得x1和y1关于k的表达式，直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形推断直线CP、CQ的斜率互为相反数，进而得到k的范围，同样的设点Q（x2，y2），根据韦达定理求得x2和y2关于k的表达式，根据椭圆是中心对称图形求得点B的坐标，根据 关系得证．
【解析】
（I）以O为原点，OA为X轴建立直角坐标系，设A（2，0），则椭圆方程为…2′
∵O为椭圆中心，∴由对称性知|OC|=|OB|
又∵，∴AC⊥BC
又∵|BC|=2|AC|∴|OC|=|AC|
∴△AOC为等腰直角三角形
∴点C的坐标为（1，1）∴点B的坐标为（-1，-1）…4
将C的坐标（1，1）代入椭圆方程得，
则求得椭圆方程为…6′
（II）由于∠PCQ的平分线垂直于OA（即垂直于x轴），不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为-k，因此PC、QC的直线方程分别为y=k（x-1）+1，y=-k（x-1）+1
由得（1+3k2）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0*）…8′
∵点C（1，1）在椭圆上，
∴x=1是方程（*）的一个根，∴xP•1=即xP=
同理xQ=…9′
∴直线PQ的斜率为（定值）…11′
又∠ACB的平分线也垂直于OA
∴直线PQ与AB的斜率相等（∵kAB=）
∴向量，即总存在实数λ，使成立．…12′