Question

已知数列{a_n}的首项为a₁=2，前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*n，≥2，a_n总是3S_n-4与的等差中项．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列，并求通项a_n；
（2）证明：；
（3）若，T_n，R_n分别为{b_n}、{c_n}的前n项和．问：是否存在正整数n，使得T_n＞R_n，若存在，请求出所有n的值，否则请说明理由．

Answer

（1）由题设条件对任意的n∈N*，n≥2时，an总是3Sn-4与的等差中项，可得2an=3Sn-4+2-，由此递推关系进行恒等变形，由于本题要确定等比关系，故可研究数列的相邻两项的积，结合所得的递推关系，易得结论．
（2）由（1）可得Sn=4-，由于与证SnSn+2＜Sn+12等价，欲证不等式成立，只须证SnSn+2＜Sn+12成立即可；
（3）由题设条件求出两数列{bn}、{cn}的通项公式，再求出它们的前n项和Tn，Rn的表达式，对两者的大小进行探究即可得到答案
【解析】
（1）证：n≥2时，2an=3Sn-4+2-，即2（Sn-Sn-1）=3Sn-4+2-
∴Sn=，
由上得（3分）
故（n≥2），
又
∴数列{an}是公比为等比数列
∴．（6分）
（2）证：Sn=4-，要证，只要证SnSn+2＜Sn+12．
又，
∴SnSn+2＜Sn+12，即．（10分）
（3）【解析】
bn=2n-1，cn=log2（2n）2=2n，Tn=2n+1-n-2，Rn=n2+n
当n=1，2，3时，Tn＜Rn，
当n=4，5时，Tn＞Rn，即2n+1＞n2+2n+2．
n≥6时，2n+1=（1+1）n+1=Cn+1+Cn+11+Cn+12+…Cn+1+Cn+11+Cn+12+…+Cn+1n-1+Cn+1n+1＞2（Cn+1+Cn+11+Cn+12）=n2+3n+4＞n2+2n+2
∴当n≥4时，Tn＞Rn