Question

判断函数f（x）=x²+2x在（-1，+∞）的单调性，并用函数单调性的定义给出证明．

Answer

利用定义判断函数的单调性，先设在所给区间上有任意两个自变量x1，x2，且x1＜x2，再用作差法比较f（x1）与
f（x2）的大小，做差后，应把差分解为几个因式的乘积的形式，通过判断每一个因式的正负，来判断积的正负，最后的出结论．
【解析】
函数f（x）为增函数，
证明如下：设x1，x2∈（-1，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=x12+2x1-（x22+2x2）=x12-x22+（2x1-2x2）
=（x1+x2）（x1-x2）+2（x1-x2）=（x1-x2）（x1+x2+2）
∵x1，x2，∈（-1，+∞），且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1+x2+2＞0
∴（x1-x2）（x1+x2+2）＜0
即f（x1）-f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2）
∴函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数．