Question

如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求证：AC⊥平面B₁D₁DB；
（2）求证：BD₁⊥平面ACB₁
（3）求三棱锥B-ACB₁体积．

Answer

（1）由AC⊥BD，知AC⊥BB1，由此能够证明AC⊥平面B1D1DB．
（2）连接A1B，A1B⊥AB1，D1A1⊥AB1．由AB1⊥A1B，AB1⊥D1A1，A1B和D1A1是面A1BD1内的相交直线，所以AB1⊥面A1BD1，又BD1在面A1BD上，AB1⊥BD1，同理，AC⊥BD1．由此能够证明BD1⊥面ACB1．
（3）三棱锥B-ACB1，也就是ABC为底，BB1为高的三棱锥．由此能求出三棱锥B-ACB1体积．
（1）证明：∵AC⊥BD，AC⊥BB1，
∴AC⊥平面B1D1DB．
（2）证明：连接A1B，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
面A1B1BA是正方形，对角线A1B⊥AB1，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，D1A1⊥面A1B1BA，AB1在面A1B1BA上，
∴D1A1⊥AB1，
∵AB1⊥A1B，AB1⊥D1A1，
A1B和D1A1是面A1BD1内的相交直线，
∴AB1⊥面A1BD1，又BD1在面A1BD1上，
∴AB1⊥BD1，同理，D1D⊥面ABCD，
AC在面ABCD上，D1D⊥AC，
在正方形ABCD中对角线AC⊥BD，
∵AC⊥D1D，AC⊥BD，D1D和BD是面BDD1内的相交直线，
∴AC⊥面BDD1，又BD1在面BDD1上，
∴AC⊥BD1，
∵BD1⊥AB1，BD1⊥AC，
AB1和AC是面ACB1内的相交直线
∴BD1⊥面ACB1．
（3）【解析】
三棱锥B-ACB1，也就是ABC为底，BB1为高的三棱锥，
三棱锥B-ACB1体积
V=×AB×AD×BB1=．