已知定义在R上的函数f（x）=x2|x-a|（a∈R）．（1）判定f（x）的奇...

已知定义在R上的函数f（x）=x²|x-a|（a∈R）．
（1）判定f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a≠0时，是否存在一点M（t，0），使f（x）的图象关于点M对称，并说明理由．

（1）根据f（x）=x2|x-a|（a∈R），可对a分类讨论，根据函数奇偶性的定义即可判断；（2）可假设存在一点M（t，0）使f（x）的图象关于点M对称，故f（t+x）=-f（t-x）；分当t=a时，取x=a，有f（2a）=-f（0）=0，从而可得a=0，导出矛盾；当t≠a时，取x=a-t，f（a）=-f（2t-a）=0，可解得，再取x=0，从而可得a=0，导出矛盾；于是可得结论．【解析】（1）a=0时，f（x）为偶函数；a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．（2）不存在．假设存在一点M（t，0）使f（x）的图象关于点M对称，则对x∈R应恒有f（t+x）=-f（t-x）．当t=a时，取x=a，则f（2a）=-f（0）=0，∴4a2|a|=0，∴a=0这与a≠0矛盾．当t≠a时，取x=a-t，则f（a）=-f（2t-a）=0．∴（2t-a）2|2t-2a|=0，∵2t-2a≠0，∴．而时，取x=0，则即．∴这也与已知矛盾．综上，不存在这样的点M．

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考点分析：

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