Question

若数列{a_n}满足：a₁=m₁，a₂=m₂，a_n+2=pa_n+1+qa_n（p，q是常数），则称数列{a_n}为二阶线性递推数列，且定义方程x²=px+q为数列{a_n}的特征方程，方程的根称为特征根； 数列{a_n}的通项公式a_n均可用特征根求得：
①若方程x²=px+q有两相异实根α，β，则数列通项可以写成a_n=c₁αⁿ+c₂βⁿ，（其中c₁，c₂是待定常数）；
②若方程x²=px+q有两相同实根α，则数列通项可以写成a_n=（c₁+nc₂）αⁿ，（其中c₁，c₂是待定常数）；
再利用a₁=m₁，a₂=m₂，可求得c₁，c₂，进而求得a_n．根据上述结论求下列问题：
（1）当a₁=5，a₂=13，a_n+2=5a_n+1-6a_n（n∈N^*）时，求数列{a_n}的通项公式；
（2）当a₁=1，a₂=11，a_n+2=2a_n+1+3a_n+4（n∈N^*）时，求数列{a_n}的通项公式；
（3）当a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^*）时，记S_n=a₁C_n¹+a₂C_n²+…+a_nC_nⁿ，若S_n能被数8整除，求所有满足条件的正整数n的取值集合．

Answer

（1）根据已知条件求出an+2=5an+1-6an的特征方程为：x2-5x+6=0及其特征根x1=2，x2=3，利用待定系数法求出
c1=c2=1，进一步求出数列{an}的通项公式；
（2）先将已知条件变形为（an+2+1）=2（an+1+1）+3（an+1），设bn=an+1，构造新数列{ bn}，通过求特征方程的特征根求出数列{ bn}的通项公式，进一步求出数列{an}的通项公式；
（3）先通过求特征方程的特征根的方法求出通项公式，代入Sn=a1Cn1+a2Cn2+…+anCnn，化简得到 Sn+2=3Sn+1-Sn，通过不完全归纳找规律得到结论．
【解析】
（1）由an+2=5an+1-6an可知特征方程为：x2-5x+6=0，x1=2，x2=3…（3分）
所以 设 an=c1•2n+c2•3n，由得到c1=c2=1，
所以   an=2n+3n； …（6分）
（2）由an+2=2an+1+3an+4可以得到（an+2+1）=2（an+1+1）+3（an+1）
设bn=an+1，则上述等式可以化为：bn+2=2bn+1+3bn…（8分）
b1=a1+1=2，b2=a2+1=12，所以bn+2=2bn+1+3bn对应的特征方程为：x2-2x-3=0，x1=-1，x2=3…（10分）
所以令   bn=c1•3n+c2•（-1）n，由b1=2，b2=12可以得出
所以…（11分）
即  …（12分）
（3）同样可以得到通项公式…（14分）
所以Sn=a1Cn1+a2Cn2+a3Cn3+…+anCnn===
即     …（14分）=3Sn+1-Sn
即   Sn+2=3Sn+1-Sn，n∈N*…（16分）
因此Sn+2除以8的余数，完全由Sn+1，Sn除以8的余数确定，
因为a1=1，a2=1所以  S1=C11a1=1，S2=C21a1+C22a2=3，S3=3S2-S1=9-1=8，S4=3S3-S2=24-3=21，S5=3S4-S3=63-8=55，S6=3S5-S4=165-21=144，S7=3S6-S5=432-55=377，S8=3S7-S6=1131-144=987，S9=3S8-S7=2961-377=2584，
由以上计算及Sn+2=3Sn+1-Sn可知，数列{Sn}各项除以8的余数依次是：1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，…，它是一个以6为周期的数列，从而Sn除以8的余数等价于n除以3的余数，所以n=3k，k∈N*，
即所求集合为：{n|n=3k，k∈N*}…（18分）