Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=a，（a为常数，且a≠3），a_n+1=S_n+3ⁿ，设b_n=S_n-3ⁿ（n∈N^*）．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{2n•b_n}的前n项和T_n；
（3）若不等式对任意a∈[1，3）及n∈N^*恒成立，求实数x的取值范围．

Answer

（1）根据an+1=Sn+3n，可得Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n即Sn+1=2Sn+3n，而bn=Sn-3n，因此可得数列{bn}是等比数列，利用等比数列通项公式的求法，即可求得结果；
（2）根据（1）求得的数列{bn}的通项公式，可以求得数列{2n•bn}的通项公式，利用错位相减法即可求得其前n项和Tn；
（3）不等式对任意a∈[1，3）及n∈N*恒成立，探讨数列{an}的单调性，求出{an}的最小值，转化为
利用对数的运算性质，解对数不等式即可求得结果．
【解析】
（1）Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n即Sn+1=2Sn+3n
∴
故{bn}为等比数列，公比为2．
又a≠3，∴b1=S1-3=a-3≠0，∴bn=（a-3）•2n-1．
（2）2nbn=n•2n•（a-3），先求数{n•2n}的前n项和Tn′．
∴Tn′=1•2+2•22+3•23+…+n•2n2Tn′=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1
作差：-Tn′=2+22+23+…+2n-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1=（1-n）•2n+1-2
∴Tn′=（n-1）•2n+1+2．
∴Tn=（a-3）Tn′=（a-3）（n-1）•2n+1+2（a-3）．
（3）由（1）知Sn=3n+（a-3）2n-1，an+1=Sn+3n=2•3n+（a-3）•2n-1
则an=Sn-1+3n-1=2•3n-1+（a-3）•2n-2（n≥2）
∴n≥2时，
当a∈[1，3）时，，又2n-2＞0．
则n≥2时，an+1＞an恒成立．
又当n=1时，a2=a1+3＞a1恒成立．
故n∈N*时．an+1＞an恒成立．∴（an）min=a1=a．
则由题中不等式得：时对a∈[1，3）恒成立．
故，即．
∴
故．